数値データの表現

４ビットのコンピュータがあるとして、数値はどう表現するのか？


小生の場合、素直に次のような１５種類の数かなぁー　
なんて考えました。


００００　　　　……　　　０
０００１　　　　……　　　１
００１０　　　　……　　　２
００１１　　　　……　　　３
０１００　　　　……　　　４
０１０１　　　　……　　　５
０１１０　　　　……　　　６
０１１１　　　　……　　　７
１０００　　　　……　　　８
１００１　　　　……　　　９
１０１０　　　　……　　１０
１０１１　　　　……　　１１
１１００　　　　……　　１２
１１０１　　　　……　　１３
１１１０　　　　……　　１４
１１１１　　　　……　　１５

でも、これではプラスの数（正の数）しか表せないし、
どうやってマイナスの数（負の数）を表現するのだろうか？　
と。

随分と昔に、
”符号ビット”　なんて言葉は聞いたことがある。
それってこういう事だよなぁー　と、下のように
軽く想像していました。　




１０１０　　　　……　　１０
１００１　　　　……　　　９
１０００　　　　……　　　８
０１１１　　　　……　　　７
０１１０　　　　……　　　６
０１０１　　　　……　　　５
０１００　 　　 ……　  　４
００１１　　　　……　　　３
００１０　　　　……　　　２
０００１　　　　……　　　１
００００　　　　……　　　０

１００１　　　　……　 －１

１０１０　　　　……　 －２

実際,　上のように書いてみて、あれっ！　
と感じました。

－１　と　－２　（ １００１　１０１０ ）　は、
それぞれ　
＋９　＋１０　（ １００１　１０１０ ）と一緒じゃないか！


今更ながら、自分がイメージしていた事は、
全くめちゃくちゃなものだったと　我ながら
呆れてしまった。 

きちんと基礎を理解せねば、資格なんて
取れる訳がない！　　そう痛感する。

小生が手にしたテキストで、
「FOM出版　よくわかるマスター　基本情報処理技術者試験　
 対策テキスト」　が最も取っつき易かったので、それをベース
に勉強を開始した。　このテキストは比較的優しく、又、解説
もそれなりに詳しいとは思うのだが、数値の正負の表現方法
の解説（P２５）で難しくなってきた。

正の数値と負の数値の表現方法には、
①絶対値表現　　と
②補数表現　　　 と言うものがあるらしいのだが、

先ず、絶対値って何でしょうか？　言葉の意味を理解
しないと気が済まないタチなのでググってみたら、

Ｘ≧０　のとき、　|Ｘ|＝Ｘ　、Ｘ＜０　のとき、　|Ｘ|＝－Ｘ

だそうです。 具合が悪くなってきます。

テキストには、
「最上位のビットを符号ビットとし、正の場合は
０、負の場合は１と表現する方法のこと」
とあります。素直にそれで満足することにします。

００００ ００１１ 　……　  ３
１０００ ００１１　 ……  ｰ３
　（絶対値表現で表した例）

　※８ビットで考えると、左の１ビットで正負を表し、
　 　右７ビットで数値を表す。


次は補数表現。 これは参った。
補数という概念は高校の数学で学習していたらしい
のだが全く記憶にない。 また、小生にはテキストの
解説（下記　参考）が全く理解できなかった。

参考　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
「補数」とは、ある数値の桁をひとつ繰り上げるために加算
する数値のこと。たとえば、６＋４＝１０であることから、６の
補数は４である。 
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 
※テキストより抜粋


６時間以上、悩んだ結果、上の解説は正しいことを理解した。
どうも、小生は見当違いの思考を巡らしてしまうようだ。
要するに、補数とはある数に何らかの数をたして、計算し易い
ように工夫する技術のようです。

コンピュータでは２進数で計算を行っているので、
２進数を例に示します。 


１の補数
コンピュータ（８ビット）が負の数値を表すのに、”１の補数”
を使用するものと定義している場合。数値３　及び　ｰ３　は
次のようになります。

００００ ００１１　　……　　　３
１１１１ １１００　　……　　ｰ３　　　
１１１１ １１１１　　……　　　０　←　なぜ１１１１１１１１ は ０？　


※１の補数で負の数を表す場合、１１１１ １１１１　は
　　０の意味を持たせています。


当初、１１１１ １１１１　が　０　を意味することが理解でき
なかったのですが、 実際に一覧表を作ってみると。
「なるほど」と、納得できました。



　　　 　数値　　　 反転　　　１の補数
　０　　００００　 　　→ 　　　　１１１１　←　ゼロの意味を持たせる
　１　　０００１　　   → 　　　　１１１０
　２　　００１０　　　 →　　 　　１１０１
　３ 　 ００１１　　　 →　　　　 １１００
　４ 　 ０１００　　　 →　　　　 １０１１
　５ 　 ０１０１　　　 →　　　　 １０１０
　６ 　 ０１１０　　　 →　　　　 １００１
　７ 　 ０１１１　　　 →　　　　 １０００


↑
　　　　　　　　　　　　　　負の意味を持たせる


（※４ビットで考えます）


負の数を”１の補数”で表すコンピュータ（４ビット）は、
元のデータ（正）を単純に反転しただけの値を、
負のデータとする事としています。

例外といえる事は、正でも負でもない数値 ”００００” を
反転した場合”１１１１”となりますが、これを負の数とは
しない事ですね。 
  まぁ、データを反転する事で、符号の正負を逆にしよう
とする仕組みですから、正でも負でもない数値”００００”
を反転させて負の値にしてしまっては矛盾が生じますし、
 １・０ のデータを反転させるだけでしたら、比較的簡単
に変換できるだろうし、よく思いついたものだと感心させ
られました （小生の感想はどうでもよいですね）。
 そんなことで、”００００” と ”１１１１” の両者には ”０” の
意味を持たせているようです。

さて、４ビットコンピュータがあるとして、「１の補数方式」
で表現できる数値の種類は、１～７ と -１～-７ 、そして
 ０ ですので、１５種類となります。

当然ビット数が大きくなれ表現できる種類も大きくなり
ますので、「１の補数方式」で可能な組み合わせ数は、
「 -２n-1　～　２n-1 -１ 」 の公式で求めることができます。


　次回は、ほとんどのコンピュータで採用されている、
『 ２の補数方式 』についての概念をまとめます。






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